Selbsterflären 5.1 -11

5-1.tex

@@ -54,4 +54,19 @@ Diese Formel hilft uns Wurzeln zu vereinfachen. So können wir zum Beispiel $\sq
 Falls $x$ und $y$ beide kleiner als $\sqrt{50}$ sind, dann ist ihres Produkt auch kleiner als $\sqrt{50}\cdot \sqrt{50}=50$. Das ist ein Widerspruch. Analog folgt wenn beide Zahlen grösser als die Wurzel sind, dass das Produkt grösser als 50 ist.
 Wenn eine Zahl genau $\sqrt{50}$ ist, so muss die andere $50:\sqrt{50}=\sqrt{50}$ sein.
 Somit muss wenn eine Zahl grösser oder kleiner ist, und die andere Zahl kleiner, respektive grösser als $\sqrt{50}$ sein.
+
+\subsection*{Aufgabe 10}
+Wir geben eine Schätzung $x_0$ für die Wurzel aus $a>0$. Danach korrigieren wir die Schätzung, damit sie immer näher zu $\sqrt{a}$ wandert.
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+Dazu bestimmen wir ein Intervall, indem die Wurzel liegen kann. Analog zu Aufgabe 9 suchen wir ein $y_0$, indem wir $a:x_0$ rechnen. Dann wissen wir, dass $\sqrt{a}$ zwischen $x_0$ und $y_0)$ liegt.
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+Die nächste Schätzung ist dann die Mitte von beiden. $x_1=\frac{x_0+y_0}{2}$. So halbiert sich das Intervall, in welchem wir die Wurzel suchen. Wir setzten auch $y_1$ näher an $\sqrt{a}$. $y_1=a:x_1$
+
+Wir fahren immer weiter so fort und bestimmer immer wieder ein neues $x_n$ und $y_n$ mit den Formeln: $x_{n+1}=\frac{x_n+y_n}{2}$ und $y_n=a:x_n$.
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+All unsere Schätzungen sind aber rational und werden daher nur beliebig nah an die Wurzel kommen, sie aber nie ganz erreichen.
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+\subsection*{Aufgabe 11}
+Das Intervall in dem die Wurzel liegen kann wird immer kleiner als die Hälfte des vorherigen Intervalls. Wir setzten zu Beginn eine Grösse, wie genau wir die Wurzel brauchen: ein Tausendstel oder ein Milliardstel.
+Sobald die Differenz von $x_n$ und $y_n$ kleiner als diese fixierte Grösse ist, können wir die Schätzung als Ergebnis ausgeben.
 \end{document}