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\documentclass[10pt,a4paper]{article}
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\author{Beat Jäckle (Jb)}
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\begin{document}
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Lösungen für: Mathematik fürs Gymnasium
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%\setcounter{section}{4}
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%\setcounter{subsection}{2}
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\subsection*{Selber erklären 5.1}
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\subsubsection*{Aufgabe 1}
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Die Quadratwurzel von p ist der positive Wert, welcher mit sich selber multipliziert genau p ergibt.
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\subsection*{Aufgabe 2}
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Da $10^2=100<111$ ist, können wir sagen, dass die Wurzel von 111 grösser als 10 sein muss. Die selbe Idee nützen wir, um die Wurzel eine obere Schranke zu finden.
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$11^2=121>111$. Somit muss die Wurzel von 111 im Intervall $(10,11)$ liegen.
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\subsection*{Aufgabe 3}
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$\sqrt{0.04}=|0.2|=+0.2=0.2$\\
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Die Wurzel ist immer positiv.
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\footnote{
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Die Wurzel ist eine Funktion. Dadurch muss es eine eindeutige Antwort geben. Der Betrag eignet sich perfekt dazu, dass man sich genau auf einen Wert einigt.
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}
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\subsection*{Aufgabe 4}
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$\sqrt{1234}$ hat genau eine Lösung. $x^2=1234$ hat unter anderem $\sqrt{1234}$ als Lösung, aber auch die Gegenzahl der Wurzel. Denn auch $(-\sqrt{1234})^2=1234$. $\mathbb{L}=\{-\sqrt{1234},\sqrt{1234}\}$
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\subsection*{Aufgabe 5}
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Sei $a$ eine Ziffer. Dann ist $\overline{1a}$ die Zahl die aufgeschrieben wird mit einem 1 beginnend und nachher die Ziffer $a$, also $10+a$. Wenn man diese Zahl quadriert, bekommt man mit der Binomischen Formel $(10+a)^2=100+2\cdot10\cdot a+a^2$. Die ersten zwei Summanden tragen nichts zur letzten Ziffer bei, da sie mit Zehn multipliziert wurden.
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Daher kommt es nur auf die hinterste Ziffer der Basis drauf an, wie die hinterste Ziffer der Quadratzahl lautet.
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Dadurch kommt für die Wurzel von 28\textbf{9} nur eine der gegebenen in Frage: 17\\
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$6^2=3\textbf{6}$, $7^2=4\textbf{9}$, $8^2=6\textbf{4}$ und $9^2=8\textbf{1}$.
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\subsection*{Aufgabe 6}
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Wir ziehen die Wurzel aus dem aktuellen Jahr, zB. $\sqrt{2021}\approx44.96$. Wenn wir diese Wurzel aufrunden und quadrieren, bekommen wir die nächste natürliche Quadratzahl.\\
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$45^2=2025$
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\subsection*{Aufgabe 7}
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Die Multiplikation und Division sind Operationen zweiter Stufe. Daher darf man da die Wurzel aufteilen. Bei der Addition und Subtraktion ist stimmt die Gleichung nicht.
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\begin{enumerate}[label=\alph*)]
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\item $\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13$\\
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$\sqrt{25}+\sqrt{144}=5+12=17$
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\item $a$ und $b$ dürfen nicht negativ sein, da wir keine Wurzel aus einem negativen Radikand ziehen können.
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\end{enumerate}
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\subsection*{Aufgabe 8}
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Diese Formel hilft uns Wurzeln zu vereinfachen. So können wir zum Beispiel $\sqrt{1200}$ vereinfachen und $\sqrt{3\cdot4\cdot100}=\sqrt{3}\cdot2\cdot10=20\cdot\sqrt{3}$ aufschreiben.
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\subsection*{Aufgabe 9}
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Falls $x$ und $y$ beide kleiner als $\sqrt{50}$ sind, dann ist ihres Produkt auch kleiner als $\sqrt{50}\cdot \sqrt{50}=50$. Das ist ein Widerspruch. Analog folgt wenn beide Zahlen grösser als die Wurzel sind, dass das Produkt grösser als 50 ist.
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Wenn eine Zahl genau $\sqrt{50}$ ist, so muss die andere $50:\sqrt{50}=\sqrt{50}$ sein.
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Somit muss wenn eine Zahl grösser oder kleiner ist, und die andere Zahl kleiner, respektive grösser als $\sqrt{50}$ sein.
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\subsection*{Aufgabe 10}
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Wir geben eine Schätzung $x_0$ für die Wurzel aus $a>0$. Danach korrigieren wir die Schätzung, damit sie immer näher zu $\sqrt{a}$ wandert.
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Dazu bestimmen wir ein Intervall, indem die Wurzel liegen kann. Analog zu Aufgabe 9 suchen wir ein $y_0$, indem wir $a:x_0$ rechnen. Dann wissen wir, dass $\sqrt{a}$ zwischen $x_0$ und $y_0)$ liegt.
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Die nächste Schätzung ist dann die Mitte von beiden. $x_1=\frac{x_0+y_0}{2}$. So halbiert sich das Intervall, in welchem wir die Wurzel suchen. Wir setzten auch $y_1$ näher an $\sqrt{a}$. $y_1=a:x_1$
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Wir fahren immer weiter so fort und bestimmer immer wieder ein neues $x_n$ und $y_n$ mit den Formeln: $x_{n+1}=\frac{x_n+y_n}{2}$ und $y_n=a:x_n$.
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All unsere Schätzungen sind aber rational und werden daher nur beliebig nah an die Wurzel kommen, sie aber nie ganz erreichen.
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\subsection*{Aufgabe 11}
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Das Intervall in dem die Wurzel liegen kann wird immer kleiner als die Hälfte des vorherigen Intervalls. Wir setzten zu Beginn eine Grösse, wie genau wir die Wurzel brauchen: ein Tausendstel oder ein Milliardstel.
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Sobald die Differenz von $x_n$ und $y_n$ kleiner als diese fixierte Grösse ist, können wir die Schätzung als Ergebnis ausgeben.
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\end{document} |